Question

（1）定义在[-1，1]上的函数y=f（x）是增函数，且是奇函数，若f（a-1）+f（4a-5）＞0，求实数a的取值范围．
（2）设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性可把不等式f（a-1）+f（4a-5）＞0化为f（a-1）＞f（5-4a），根据单调性可去掉符号“f”，考虑到定义域即可求出a的范围；
（2）利用偶函数的性质，可得f（|1-m|）＜f（|m|），根据定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，可得不等式组，即可得出结论．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）是奇函数，f（a-1）+f（4a-5）＞0，
∴f（a-1）＞f（5-4a），
∵定义在[-1，1]上的函数y=f（x）是增函数，
∴

-1≤a-1≤1 -1≤5-4a≤1 a-1＞5-4a

，
∴

6

5

＜a≤

3

2

；
（2）∵偶函数f（x），f（1-m）＜f（m），
∴f（|1-m|）＜f（|m|），
∵定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，
∴

0≤|1-m|≤2 0≤|m|≤2 |1-m|＞|m|

，
∴-1≤m＜

1

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用及抽象不等式的求解，抽象不等式的求解一般利用函数性质化为具体不等式解决．