Question

已知函数f(x)=xln(1+x)-a(x+1)，其中a为常数.

(Ⅰ)若当x∈[1,+∞)时，f′(x)＞0恒成立，求a的取值范围；

(Ⅱ)求g(x)=f′(x)的单调区间.

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=ln(1+x)+-a＞0,则a＜ln(1+x)+

令h(x)=ln(1+x)+,则h′(x)+,当x∈[1,+∞)时,h′(x)＞0,

∴h(x)在[1,+∞)上单调增,∴a＜h(1)=+1n2,∴a的取值范围是(-∞,+ln2). 

(Ⅱ)g(x)=ln(1+x)+-a,x∈[-1,+∞),则g′(x)=

i)当a＞1时,x∈(-1,a-2),g′(x)＜0,g(x)是减函数.x∈(a-2,+∞),g′(x)＞0,g(x)是增函数. 

ii)当a≤l时,x∈(-1,+∞),g′(x)＞0,g(x)是增函数.

综上所述.当a＞1时,增区间为(a.-2,+∞),减区间为(-1,a-2)；

当a≤1时,增区间为(-1,+∞).