Question

已知实数x、y满足约束条件

x+y≤3  y≥1 x≥1

，则z=x²+y²的最小值为

2

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，设P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P两点距离的平方之值，因此运动点P并加以观察可得|OP|的最小值为

2

，即可得到z=x²+y²的最小值．

解答：解：作出不等式组

x+y≤3  y≥1 x≥1

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（1，1），B（1，2），C（2，1）
设P（x，y）为区域内一个动点
则|OP|=

x2+y2

，
因此z=x²+y²=|OP|²表示O、P两点距离的平方之值
∵当P与A重合时|OP|=

12+12

=

2

达到最小值，
∴|OP|²的最小值为2，z=x²+y²的最小值为2
故答案为：2

点评：本题给出二元一次不等式组，求x²+y²的最值，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．