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精英家教网三棱锥P-ABC中,PA=AB=AC,∠BAC=120°,PA⊥平面ABC,点E、F分别为线段PC、BC的中点,
(1)判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由;
(2)求直线PF与平面PAC所成角的正弦值.
分析:(1)由已知中点E、F分别为线段PC、BC的中点,由三角形中位线定理,可得EF∥PB,进而由线面平行的判定定理,即可得到PB∥平面AEF.
(2)F作FH⊥AC于点H,由已知中PA⊥平面ABC,可得面PAC⊥平面ABC,连接PH,可得∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角.解三角形即可得到直线PF与平面PAC所成角的正弦值
解答:精英家教网解:(1)PB∥平面AEF,(2分)
∵点E、F分别为线段PC、BC的中点,
∴EF为△PBC的中位线,
∴EF∥PB,(4分)
又PB?平面AEF,EF?平面AEF,
∴PB∥平面AEF.(6分)
(2)过F作FH⊥AC于点H,由于PA⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,
从而FH⊥平面PAC,连接PH,可得∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角.(10分)
不妨设PA=AB=AC=1,则在△ABC中,
计算可得AF=
1
2
FH=
3
4

又Rt△PAF中,PF=
PA2+AF2
=
5
2

∴在Rt△PFH中,sin∠FPH=
FH
PF
=
3
4
5
2
=
15
10

即直线PF与平面PAC所成角的正弦值为
15
10
.(14分)
点评:本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,(1)中关键是判断出EF∥PB,(2)中关键是得到∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角.
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