Question

以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为

1

2

的点的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
②点P是抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数λ（λ＞0）的点的轨迹是圆；
④若动点M（x，y）满足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线；
⑤若过点C（1，1）的直线l交椭圆

x2

4

+

y2

3

=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命题的序号是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：①求出平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为

1

2

的点的轨迹方程，即可判断

x2

4

+

y2

3

=1的正误；
②确定点A（3，6）的位置，即可判定|PA|+|PM|的最小值是6是否正确；
③找出反例即可否定平面内到两定点距离之比等于常数λ（λ＞0）的点的轨迹是圆；
④利用双曲线的第二定义判断：若动点M（x，y）满足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线是否正确；
⑤若过点C（1，1）的直线l交椭圆

x2

4

+

y2

3

=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，求出直线l的方程是否为3x+4y-7=0，即可判定正误．

解答：解：①平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为

1

2

的点的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1，显然不正确，因为（2，0）在直线x=2上；
②点P是抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；因为（3，6）在抛物线的内部，所以正确；
③平面内到两定点距离之比等于常数λ（λ＞0）的点的轨迹是圆，λ=1时是直线，所以不正确；
④若动点M（x，y）满足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线，显然不正确，因为不满足双曲线的定义；
⑤若过点C（1，1）的直线l交椭圆

x2

4

+

y2

3

=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0，满足题意，正确．
故答案为：②⑤

点评：本题是中档题，考查圆锥曲线的基本性质，轨迹方程的求法，综合能力比较强，知识面比较宽，常考题型．