题目内容

定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x∈[0，n）（n∈N*）时，设函数f（x）的值域为集合A，记A中的元素个数为an，则使
an+49
n
为最小时的n是（　　）
分析：由题意易得an，进而可得
an+49
n
=
n
2
+
49
n
+
1
2
，由函数f（x）=
x
2
+
49
x
+
1
2
的单调性可得答案．
解答：解：根据题意：x∈[n-1，n）时，[x]=n-1，
∴x∈[n-1，n）时，[x[x]]=（n-1）2
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，2，3，…，n
∴an=1+2=3+…+n=
n(n+1)
2
，∴
an+49
n
=
n
2
+
49
n
+
1
2
，
构造函数f（x）=
x
2
+
49
x
+
1
2
，f′（x）=
1
2
-
49
x2
，
令
1
2
-
49
x2
＞0，可得x＞
98
，
故函数f（x）在（1，
98
）单调递减，（
98
，+∞）单调递增，
故当n=9时，
n
2
+
49
n
+
1
2
=
94
9
，当n=10时，
n
2
+
49
n
+
1
2
=
52
5
，
而
94
9
＞
52
5
，故当n=10时，
an+49
n
取最小值
故选C
点评：本题考查新定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围；
（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足mn＜0，m+n＞0，定义函数F（x）=
f(x)，当x≥0
-f(x)，当x＜0
，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．
定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1，5]=1．[-1，3]=-2，当x∈[0，n]（n∈N*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a，则：
（1）a3=
6
6

（2）式子
an+90
n
的最小值为
181
13
181
13
．
定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为an，则式子
an+90
n
的最小值为（　　）
（2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．
（1）若a1=-c-2，求a2及a3；
（2）求证：对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
已知向量
m
=（2sinx，cosx），
n
=（
3
cosx，2cosx）定义函数f（x）=loga（
m
•
n
-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）确定函数f（x）的单调递增区间．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网