题目内容

A:(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,由θ=0,θ=
π
3
,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是
3-
3
4
3-
3
4

B:(几何证明选讲选做题)如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于
16π
16π

C:(不等式选讲)要使关于x的不等式|x-1|+|x-1|≤3在实数范围内有解,则a的取值范围是
[-2,4]
[-2,4]
分析:A:先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程,再利用直角坐标中点的坐标、直线的方程求解成的图形的面积即可.
B:连接辅助线,根据圆周角是30°,得到对应的圆心角是60°,根据圆的半径相等,得到三角形是一个等边三角形,求出半径的长度,根据圆的面积公式,得到结果.
解答:解:A:曲线ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为:
x+y-1=0.它与x轴的交点为B(1,0).
曲线θ=
π
3
的直角坐标方程分别为:
3
x-y=0.
它们的交点坐标为A(
1
3
+1
3
3
+1
),
∴由三条曲线 θ=0,θ=
π
3
,ρcosθ+ρsinθ=1
围成的图形如图所示.
∴S=
1
2
OB×h=
1
2
×1×
3
3
+1
=
3-
3
4

故答案为:
3-
3
4

B:解:连接OA,OB,
∵∠ACB=30°,
∴∠AoB=60°,
∴△AOB是一个等边三角形,
∴OA=AB=4,
∴⊙O的面积是16π
故答案为16π.
点评:A:本小题考查简单曲线的极坐标方程、点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
B:本小题考查圆周角的性质,考查等边三角形,考查圆的面积,是一个等边三角形,在解题时主要做法是构造等边三角形.
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