Question

2．点P在圆（x-3）²+（y-4）²=1上运动，两定点A、B的坐标分别为（-6，0）、（6，0）．
（1）求$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AP}$的取值范围；
（2）求|PA|²+|PB|²的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）设P点坐标为（x₀，y₀），则$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AP}$=（x₀，y₀）•（x₀+6，y₀）=x₀（x₀+6）+y₀²=（x₀+3）²+y₀²-9，（x₀+3）²+y₀²，表示（x₀，y₀）与（-3，0）的距离的平方，即可得出结论；
（2）设P点坐标为（x₀，y₀），计算PA²+PB²的值，利用Z=x₀²+y₀²的意义即圆上的点到原点的距离的平方，数形结合，求PA²+PB²的最大值和最小值，并求相应的点P的坐标．

解答 解：（1）设P点坐标为（x₀，y₀），则
$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AP}$=（x₀，y₀）•（x₀+6，y₀）=x₀（x₀+6）+y₀²=（x₀+3）²+y₀²-9，
（x₀+3）²+y₀²表示（x₀，y₀）与（-3，0）的距离的平方，其范围为（（$\sqrt{52}$-1）²，（$\sqrt{52}$+1）²），即（53-4$\sqrt{13}$，53+4$\sqrt{13}$），
∴$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AP}$的取值范围是（44-4$\sqrt{13}$，44+4$\sqrt{13}$）；
（2）PA²+PB²=（x₀+6）² +y₀² +（x₀-6）² +y₀²=2（x₀²+y₀²）+72，
令Z=x₀²+y₀²，显然Z表示圆C上一点到原点的距离的平方，
当Z最大（小）时，PA²+PB²最大（小），设直线OC交圆C于两点P₁，P₂，
当P与P₁重合时，Z最小，其值为（|OC|-1）²=16，
当P与P₂重合时，Z最大，其值为（|OC|+1）²=36，
∴PA²+PB²的最大值为144，最小值为104．

点评 本题考查直线、点与圆的位置关系的应用，注意式子Z=x₀²+y₀²表示的意义，体现数形结合的数学思想，属于中档题．