Question

若非空集合A={x|

9-5x2

9-x2 +2x

＞m，x∈Z}至多含有4个元素，则实数m的取值范围是

[2

2

-2，4+

5

）

．

Answer 1

分析：利用分母有理化，可将

9-5x2

9-x2 +2x

＞m（m∈Z）转化为

9-x2

-2x＞m（x∈Z），依题意：非空集合A={x|

9-x2

-2x＞m，x∈Z}至多含有4个元素即可求得实数m的取值范围．

解答：解：∵

9-5x2

9-x2 +2x

=

(9-5x2)( 9-x2 -2x)

( 9-x2 +2x)( 9-x2 -2x)

=

(9-5x2)( 9-x2 -2x)

(9-x2-4x2)

=

9-x2

-2x，
∴A={x|

9-5x2

9-x2 +2x

＞m，x∈Z}={x|

9-x2

-2x＞m，x∈Z}；
∵9-x²≥0，
∴-3≤x≤3，又x∈Z，
∴x=-3，-2，-1，0，1，2，3；
令g（x）=

9-x2

-2x，
则当x=-3时，g（-3）=6，
同理得g（-2）=4+

5

，g（-1）=2

2

+2，g（0）=3，g（1）=2

2

-2，g（2）=

5

-4，g（3）=-6，
将它们排列如下：

当m≥

5

+4时，A=∅，与非空集合A矛盾，不符合题意；
当m≥6时，A={-3}，符合题意；
当m≥2

2

+2时，A={-2，-3}，符合题意；
当m≥3时，A={-1，-2，-3}，符合题意；
当m≥2

2

-2时，A={0，-1，-2，-3}，符合题意；
∵非空集合A={x|

9-x2

-2x＞m，x∈Z}至多含有4个元素，
∴2

2

-2≤m＜4+

5

．
∴实数m的取值范围是[2

2

-2，4+

5

）．

点评：本题考查无理不等式的解法，着重考查分母有理化的应用，求得非空集合A={x|

9-x2

-2x＞m，x∈Z}是关键，也是难点，考查转化思想与分析运算能力，属于难题．