题目内容

设动点 到定点的距离比到轴的距离大.记点的轨迹为曲线C.

 (Ⅰ)求点的轨迹方程;

  (Ⅱ)设圆M,且圆心MP的轨迹上,是圆轴的截得的弦,当 运动时弦长是否为定值?说明理由;

  (Ⅲ)过作互相垂直的两直线交曲线CGHRS,求四边形面的最小值.

 

【答案】

(1);(2)定值2;(3)

【解析】.本题考查了抛物线的定义,圆的方程,直线与曲线方程的联立,四边形面积的求法。第一问利用抛物线的定义直接写出标准方程;第二问设出圆心坐标,写出圆的标准方程,令求得弦长为定值;第三问直线与抛物线方程联立,由韦达定理和抛物线的定义求出两弦长,用直线的斜率表示四边形面的面积,由不等式求得最小值。

解:(1)  由题意知,所求动点为以为焦点,直线为准线的抛物线,方程为;。。。。。。。。。。。。。。。。。(4分)

(2) 设圆心,半径

 圆的方程为

  

即弦为长定值;。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(8分)

(3)设过F的直线方程为 ,

 由

 由列得 

 同理得

 四边形的面积.(13分).

 

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