题目内容
设动点 到定点的距离比到轴的距离大.记点的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)设圆M过,且圆心M在P的轨迹上,是圆M 在轴的截得的弦,当M 运动时弦长是否为定值?说明理由;
(Ⅲ)过作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形面的最小值.
【答案】
(1);(2)定值2;(3)
【解析】.本题考查了抛物线的定义,圆的方程,直线与曲线方程的联立,四边形面积的求法。第一问利用抛物线的定义直接写出标准方程;第二问设出圆心坐标,写出圆的标准方程,令求得弦长为定值;第三问直线与抛物线方程联立,由韦达定理和抛物线的定义求出两弦长,用直线的斜率表示四边形面的面积,由不等式求得最小值。
解:(1) 由题意知,所求动点为以为焦点,直线为准线的抛物线,方程为;。。。。。。。。。。。。。。。。。(4分)
(2) 设圆心,半径
圆的方程为
令得
即弦为长定值;。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(8分)
(3)设过F的直线方程为 ,
由得
由列得
同理得
四边形的面积.(13分).
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