Question

设动点 到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线C．

　（Ⅰ）求点的轨迹方程；

  （Ⅱ）设圆M过，且圆心M在P的轨迹上，是圆Ｍ 在轴的截得的弦，当Ｍ 运动时弦长是否为定值？说明理由；

  （Ⅲ）过作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）定值2；（3）

【解析】.本题考查了抛物线的定义，圆的方程，直线与曲线方程的联立，四边形面积的求法。第一问利用抛物线的定义直接写出标准方程；第二问设出圆心坐标，写出圆的标准方程，令求得弦长为定值；第三问直线与抛物线方程联立，由韦达定理和抛物线的定义求出两弦长，用直线的斜率表示四边形面的面积，由不等式求得最小值。

解：(1)  由题意知，所求动点为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为；。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）

(2) 设圆心，半径

 圆的方程为

令得  

即弦为长定值；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分）

(3)设过F的直线方程为 ,

 由得

 由列得 

 同理得

 四边形的面积.（13分）.