题目内容
设动点到定点
的距离比它到
轴的距离大1,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设圆过
,且圆心
在曲线
上,
是圆
在
轴上截得的弦,试探究当
运动时,弦长
是否为定值?为什么?
(1)曲线方程是
(2)当运动时,弦长
为定值4
解析:
(1)依题意知,动点到定点
的距离等于
到直线
的距离,曲线
是以原点为顶点,
为焦点的抛物线………………………………2分
∵
∴
∴ 曲线方程是
………4分
(2)设圆的圆心为,∵圆
过
,
∴圆的方程为 ……………………………7分
令得:
设圆与轴的两交点分别为
,
方法1:不妨设,由求根公式得
,
…………………………10分
∴
又∵点在抛物线
上,∴
,
∴ ,即
=4--------------------------------------------------------13分
∴当运动时,弦长
为定值4…………………………………………………14分
〔方法2:∵,
∴
又∵点在抛物线
上,∴
, ∴
∴当运动时,弦长
为定值4〕

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