Question

我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥、现有一正三棱锥P-ABC放置在平面α上，已知它的底面边长为2，高h，边BC在平面上转动，若某个时刻它在平面α上的射影是等腰直角三角形，则h的取值范围是（　　）

• A、（0，

  6

  3

  ]
• B、（0，

  6

  6

  ]
• C、（0，

  6

  6

  ]∪[

  6

  3

  ，1]
• D、（0，

  6

  3

  ]∪（

  6

  2

  ，1）

Answer 1

分析：有选择题的特点可知，我们可以借助与题中答案的端点值来判断，答案是否成立．

解答：解：在△ABC中，设其中心为O，BC中点为E，则OE=

1

3

×

3

=

3

3

，
当h=

6

3

时，PE=

PO2+OE2

=1，PB=

PE2+BE2

=

2

，△PBC为等腰直角三角形，即当△PBC在平面α内时符合，
P不在平面α内时，设p在α内的投影为P'，PP'=d，∵△P'BC为等腰直角三角形，故P'E=1?PE=

d2+1

＞1，
又PE=

h2+OE2

=

h2+  ( 3 3 )2

＞1，
∴h²＞

2

3

，∴
h＞

6

3

；
有选项可知C符合，
故选 C

点评：这是一道难度较高的题，考查点，线，面在一平面内的投影问题，是道压轴题