题目内容

已知函数 $数学公式$ ，n∈N^．
（1）当n≥2时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）是否存在等差数列{a_n}，使得 $数学公式$ 对一切n∈N^都成立？并说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ =x^n-1（x-1）ⁿ，f'（x）=（n-1）x^n-2（x-1）ⁿ+x^n-1•n（x-1）^n-1=x^n-2（x-1）^n-1[（n-1）（x-1）+nx]，
令f'（x）=0得 $\text{[math]}$ ，
因为n≥2，所以x₁＜x₂＜x₃．…（2分）
当n为偶数时f（x）的增减性如下表：

x	（-∞，0）	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	+	0	-	0	+
f（x）	↗	无极值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当x=1时，y_极小=0．…（4分）
当n为奇数时f（x）的增减性如下表：

x	（-∞，0）	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗	无极值	↗

所以x=0时，y_极大=0；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．…（6分）
（2）假设存在等差数列{a_n}使 $\text{[math]}$ 成立，
由组合数的性质 $\text{[math]}$ ，
把等式变为 $\text{[math]}$ ，
两式相加，因为{a_n}是等差数列，所以a₁+a_n+1=a₂+a_n=a₃+a_n-1=…=a_n+1+a₁，
故 $\text{[math]}$ ，
所以a₁+a_n+1=n． …（8分）
再分别令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，
进一步可得满足题设的等差数列{a_n}的通项公式为 $\text{[math]}$ ．…（10分）
分析：（1）先利用二项式定理化简f（x），再求出其导函数f'（x），利用导函数值的正负求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极大值和极小值；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在等差数列{a_n}，结合组合数和性质得到a₁+a_n+1=n，再分别令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，进一步可得满足题设的等差数列{a_n}的通项公式，故存在等差数列{b_n}，满足条件．
点评：本题主要考查二项式定理，等差数列的通项公式，考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性与导数的关系．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，学生应熟练掌握．