Question

设动圆M满足条件p：经过点F(

1

2

，0)，且与直线l：x=-

1

2

相切；记动圆圆心M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点M₁为轨迹C上纵坐标为m的点，以M₁为圆心满足条件p的圆与x轴相交于点F、A（A在F的右侧），又直线AM₁与轨迹C相交于两个不同点M₁、M₂，当OM₁⊥OM₂（O为坐标原点）时，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以看出点M的轨迹是以F为焦点，以L为准线的抛物线．，就可求出对应轨迹C的方程；
（Ⅱ）先求出点M₁和点点A的坐标以及直线AM₁的方程，再把直线方程与抛物线方程联立，求出关于点M₁、M₂坐标的方程，借助于x₁•x₂+y₁•y₂=0即可求出m的值．

解答：解：（Ⅰ）由题得，点M到点F（

1

2

，0）的距离与到直线x=-

1

2

的距离相等．
所以点M的轨迹是以F为焦点，以L为准线的抛物线．
故所求轨迹C的方程为y²=2x．
（Ⅱ）因为M₁在抛物线y²=2x
上，所以M₁的坐标为（

m2

2

，m），则点A的坐标为（m²-

1

2

，0），
又点A在点F右侧，所以必有m²＞1，
所以直线AM₁的方程为y=

2m

1-m2

（x-m²+

1

2

）．
设M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），
由

y2=2x y= 2m 1-m2 (x-m2+ 1 2 )

?

m

1-m2

y²-y+

m(1-2m2)

1-m2

=0，
显然△＞0，所以y₁+y₂=

1-m2

m

，y₁•y₂=1-2m²．x₁•x₂=

1

4

(y1•y2) 2=

(1-2m2)2

4

，
当OM₁⊥OM₂时，有x₁•x₂+y₁•y₂=0．
即

(1-2m2)2

4

+1-2m²=0．
又m²＞1，∴m²=

5

2

?m=±

10

2

..

点评：本题涉及到求轨迹方程问题．在求轨迹方程时，一般都是利用条件找到一个关于动点的等式，整理即可求出动点的轨迹方程．