Question

如图，ABCD是圆的内接四边形，AB∥CD，过A点的圆的切线与CD的延长线交于P点，证明：
（1）∠PAD=∠CAB；
（2）AD²=AB•PD．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB
∵AP切圆于A点，∠PAD夹弧AD
∴∠PAD=∠ACD，可得∠PAD=∠CAB；
（2）∵ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADP=∠CBA
∵∠PAD=∠CAB，
∴△PAD∽△CAB，可得=
∵AB、CD是圆的平行弦
∴CB=AD，可得=，得AD²=AB•PD．
分析：（1）根据平行线的内错角相等，得∠ACD=∠CAB，再由弦切角定理，得∠PAD=∠ACD，可得∠PAD=∠CAB；
（2）根据圆内接四边形的性质，得∠ADP=∠CBA，结合∠PAD=∠CAB得△PAD∽△CAB，从而=，最后由圆的平行弦截得弦长相等，得CB=AD，从而得到AD²=AB•PD．
点评：本题在圆中证明角相等，并且证明线段的比例中项，着重考查了圆内接四边形的性质、相似三角形和与圆有关的比例线段等知识，属于中档题．