Question

6．若x＞0，y＞0，则$\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由柯西不等式即得结论．

解答 解：根据题意，x＞0，y＞0，
由柯西不等式得$（{1}^{2}+{1}^{2}）（x+y）≥（{\sqrt{x}+\sqrt{y}）}^{2}$，
两边平方，变形得$\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}≥\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查利用柯西不等式求函数的最值，记住并灵活运用公式是解题的关键，属于中档题．