Question

直线y=x+1与椭圆mx²+ny²=1（m，n＞0）相交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标是-

1

3

，则双曲线

y2

m2

-

x2

n2

=1的两条渐近线所夹的锐角等于（　　）

• A．2arctan2
• B．2arctan

  1

  2

• C．π-2arctan2
• D．π-2arctan

  1

  2

Answer 1

分析：把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，进而根据x₁+x₂=-

2

3

，求得n和m的关系，求得渐近线的斜率，进而根据两条渐近线夹角为渐近线的倾斜角的两倍，进而求得答案．

解答：解：把直线与椭圆方程联立

y=x+1 mx 2+ny 2=1

消去y得（m+n）x²+2nx+n-1=0
∴x₁+x₂=-

2n

m+n

=-

2

3

∴

n

m

=

1

2

则双曲线

y2

m2

-

x2

n2

=1的一条渐近线y=

m

n

x的倾斜角为π-2arctan2；
∴两条渐近线所夹的锐角等于π-2arctan2
故选C．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、两直线的夹角、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．