题目内容

直线y=x-1与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1相交于A，B两点，则||AB|=
 
．
分析：把 y=x-1 代入椭圆
x2
4
+
y2
2
=1化简，利用根与系数的关系，代入|AB|=
1+k2
•
(x1 +x2)2-4x1 •x2
 
进行运算．
解答：解：把 y=x-1 代入椭圆
x2
4
+
y2
2
=1化简可得 3x2-4x-2=0，
∴x1+x2=
4
3
，x1•x2=
-2
3
，
由弦长公式可得|AB|=
1+k2
•
(x1 +x2)2-4x1 •x2
=
2
•
16
9
- 
-8
3
=
4
5
3
，
故答案为
4
5
3
．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，弦长公式的应用，求出x1+x2和x1•x2，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知直线y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=
6
3
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，求S△AMB．
已知直线y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量
OA
与向量
OB
互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[
1
2
，
2
2
]时，求椭圆的长轴长的最大值．
已知直线y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，O为坐标原点，M为AB的中点．
（I）求证：直线AB与OM斜率的乘积等于e2-1（e为椭圆的离心率）；
（II）若2|
OM
|=|
AB
|且e∈(0，
2
2
)时，求a的取值范围．

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