Question

1．已知△ABC的外接圆半径为R，c=$\sqrt{2}$，且2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{2}$a-b）sinB（其中a，b分别为A，B的对边），那么R等于（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 先利用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形的内角和及和角的三角函数，变形展开，化简即可得C的值，利用正弦定理即可得到结论．

解答 解：∵△ABC的外接圆半径为R，且2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{2}$a-b）sinB，
∴2R（sin²A-sin²C）=$\sqrt{2}$×2RsinAsinB-2RsinBsinB，
∴sinAsinA-sinCsinC=$\sqrt{2}$×sinAsinB-sinBsinB，
∴sinAsinA-sin（A+B）²=$\sqrt{2}$×sinAsinB-sinBsinB，
∴sinAsinA-sinAsinAcosBcosB-sinBsinBcosAcosA-2sinAcosAsinBcosB=$\sqrt{2}$×sinAsinB-sinBsinB，
∴sinAsinA（1-cosBcosB）-sinBsinBcosAcosA-2sinAcosAsinBcosB=$\sqrt{2}$×sinAsinB-sinBsiinB，
∴sinAsinAsinBsinB+sinBsinB（1-cosAcosA）-2sinAcosAsinBcosB=$\sqrt{2}$×sinAsinB，
∴2sinAsinB（sinAsinB-cosAcosB-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=0，
∴2sinAsinB[-cos（A+B）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]=0，
∵sinA≠0，sinB≠0，
∴-cos（A+B）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，
∴cos（A+B）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A+B=135°，
∴C=45°，
∴2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
R=1，
故选：A．

点评 本题重点考查正弦定理的运用，考查三角式的恒等变形，属于基本知识的考查．