Question

给出下列4个命题：
①函数f（x）=x|x|+ax+m是奇函数的充要条件是m=0：
②若函数f（x）=log（ax+1）的定义域是{x|x＜l}，则a＜-1；
③若log_a2＜log_b2，则=1（其中n∈N₊）；
④圆：x²+y²-10x+4y-5=0上任意点M关于直线ax-y-5a=2的对称点，M′也在该圆上填上所有正确命题的序号是 ________．

Answer 1

①，④
分析：依据各选项中的已知条件，逐一分析各个各个选项是否正确，把正确的选项找出来，填在横线上．
解答：①函数f（x）的定义域是实数集R，关于原点对称，此函数奇函数的充要条件是f（-x）=-f（x），
即-x|x|-ax+m=-x|x|-ax-m，即 m=0，故①正确．
②函数f（x）=log（ax+1）的定义域是{x|x＜l}，故 a＜0，且ax+1＞0的解集是x＜l，故只有 a=-1，
故②不正确．
③∵log_a2＜log_b2，∴a＞b＞1，或者 ，
当a＞b＞1时，则= ==1，
当 b＞1 且 0＜a＜1时，则= =（-1）ⁿ=±1，
故③不正确．
④圆：x²+y²-10x+4y-5=0 即 （x-5）²+（y+2）²=34，圆心为（5，-2）
直线ax-y-5a=2 即a（x-5）-y-2=0，此直线过定点（5，-2），即圆的圆心，故圆：x²+y²-10x+4y-5=0 关于此直线
对称，故④正确．
综上，①④正确，②③不正确，
故答案为 ①④．
点评：本题考查函数的奇偶性、定义域、直线过定点、点关于直线对称，以及极限的运算，体现了等价转化和分类讨论的数学思想．