Question

如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，A₁、A₂、A₃、A₄是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向N，M处行走，直到到达N，M为止．
（1）求甲经过A₂的概率；
（2）求甲、乙两人相遇经A₂点的概率；
（3）求甲、乙两人相遇的概率．

Answer 1

解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件
满足条件的事件是甲经过A₂到达N，
可分为两步：
第一步：甲从M经过A₂的方法数：C₃¹种；
第二步：甲从A₂到N的方法数：C₃¹种；
∴甲经过A₂的方法数为（C₃¹）²；
∴甲经过A₂的概率．

（2）由（1）知：甲经过A₂的方法数为：（C₃¹）²；
乙经过A₂的方法数也为：（C₃¹）²；
∴甲、乙两人相遇经A₂点的方法数为：（C₃¹）⁴=81；
∴甲、乙两人相遇经A₂点的概率．

（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A₁、A₂、A₃、A₄处相遇，
他们在A_i（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C₃^i-1）⁴种方法；
∴（C₃⁰）⁴+（C₃¹）⁴+（C₃²）⁴+（C₃³）⁴=164
∴甲、乙两人相遇的概率．
分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是C₆³，满足条件的事件是甲经过A₂到达N，可分为两步：甲从M经过A₂的方法数C₃¹种；甲从A₂到N的方法数C₃¹种；根据分步计数原理得到结果数，求出概率．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C₆³C₆³，甲经过A₂的方法数为（C₃¹）²；乙经过A₂的方法数也为（C₃¹）²，得到甲、乙两人相遇经A₂点的方法数为（C₃¹）⁴，根据概率公式得到结果．
（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A₁、A₂、A₃、A₄处相遇，他们在A_i（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C₃^i-1）⁴种方法，根据分类计数原理得到结果数，求得概率．
点评：本题考查等可能事件的概率，考查分类计数原理，考查分步计数原理，是一个综合题，注意题目中出现的对两个人相遇的理解．