题目内容
设函数
(1)求M、T;
(2)若有10个互不相等的正数xi满足f(xi)=M,且xi<10π(i=1,2,…,10),求x1+x2+…+x10的值.
【答案】分析:将函数解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简,第三项利用二倍角的正弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,
(1)根据x为R,利用正弦函数的值域确定出函数的最大值,得到M的值;找出ω的值,代入周期公式,求出函数的最小正周期,确定出T;
(2)由求出的M及f(x)解析式,根据f(xi)=M,利用正弦函数的图象与性质列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,再由0<xi<10π,确定出k的取值,列举出所求式子的各项,计算后即可求出值.
解答:解:依题意得:f(x)=cos2x-sin2x+2
sinxcosx=cos2x+
sin2x=2sin(2x+
),
(1)∵x∈R,∴f(x)max=M=2,最小正周期T=
=π;
(2)由f(xi)=M=2得:2xi+
=2kπ+
,k∈Z,
解得:xi=kπ+
,k∈Z,
又0<xi<10π,∴k=0,1,2,…,9,
∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10×
=
π.
点评:此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,三角形函数的周期性及其求法,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键.
(1)根据x为R,利用正弦函数的值域确定出函数的最大值,得到M的值;找出ω的值,代入周期公式,求出函数的最小正周期,确定出T;
(2)由求出的M及f(x)解析式,根据f(xi)=M,利用正弦函数的图象与性质列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,再由0<xi<10π,确定出k的取值,列举出所求式子的各项,计算后即可求出值.
解答:解:依题意得:f(x)=cos2x-sin2x+2
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(1)∵x∈R,∴f(x)max=M=2,最小正周期T=
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(2)由f(xi)=M=2得:2xi+
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解得:xi=kπ+
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又0<xi<10π,∴k=0,1,2,…,9,
∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10×
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点评:此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,三角形函数的周期性及其求法,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键.
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