题目内容
已知两定点F1(-
,0),F2(
,0),满足条件|
|-|
|=2的点P的轨迹是曲线E,过点(0,-1)的直线l与曲线E交于A,B两点,且|AB|=6
.
(1)求曲线E的方程;
(2)求直线l的方程;
(3)问:曲线E上是否存在点C,使
+
-m
=
(O为坐标原点),若存在,则求出m的值和△ABC的面积S;若不存在,请说明理由.
2 |
2 |
PF2 |
PF1 |
3 |
(1)求曲线E的方程;
(2)求直线l的方程;
(3)问:曲线E上是否存在点C,使
OA |
OB |
OC |
0 |
分析:(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-
,0),F2(
,0)为焦点的双曲线的左支,由此能求出曲线E的方程.
(2)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组
,得(1-k2)x2+2kx-2=0.由直线与双曲线左支交于两点A,B,得
和|AB|=
•|x1-x2|=
•
=
•
=2
=6
,能求出直线l的方程.
(3)设C(x,y),由
+
-m
=
,得x1+x2=mx,且y1+y2=my.x=
,y=
,(m≠0).又x1+x2=
=-4
,y1+y2=k(x1+x2)-2=
-2=
=8,所以点C(-
,
).C到AB的距离为
=
,由此能求出△ABC的面积.
2 |
2 |
(2)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组
|
|
1+k2 |
1+k2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
1+k2 |
(
|
|
3 |
(3)设C(x,y),由
OA |
OB |
OC |
0 |
x1+x2 |
m |
y1+y2 |
m |
2k |
k2-1 |
5 |
2k2 |
k2-1 |
2 |
k2-1 |
4
| ||
m |
8 |
m |
|
| ||||||
|
1 |
3 |
解答:解:(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-
,0),F2(
,0)为焦点的双曲线的左支,
且c=
,a=1,易知b=1,
故曲线E的方程为x2-y2=1(x≤-1)(3分)
(2)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意建立方程组
,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0(4分)
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
解得-
<k<-1(6分)
又∵|AB|=
•|x1-x2|=
•
=
•
=2
=6
整理后得:28k4-55k2+25=0,得k2=
或k2=
但-
<k<-1
∴k=-
故直线l的方程为
x+y+1=0(8分)
(3)设C(x,y),由已知
+
-m
=
,得x1+x2=mx,且y1+y2=my
∴x=
,y=
,(m≠0)(9分)
又x1+x2=
=-4
,y1+y2=k(x1+x2)-2=
-2=
=8
∴点C(-
,
)(10分)
将点C的坐标代入曲线E的方程,得
-
=1得m=±4,(11分)
但当m=-4时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,
∴m=4,C点的坐标为(-
,2)
所以C到AB的距离为
=
(12分)
∴△ABC的面积S=
×6
×
=
(13分)
2 |
2 |
且c=
2 |
故曲线E的方程为x2-y2=1(x≤-1)(3分)
(2)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意建立方程组
|
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
|
2 |
又∵|AB|=
1+k2 |
1+k2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
1+k2 |
(
|
|
3 |
整理后得:28k4-55k2+25=0,得k2=
5 |
7 |
5 |
4 |
但-
2 |
∴k=-
| ||
2 |
| ||
2 |
(3)设C(x,y),由已知
OA |
OB |
OC |
0 |
∴x=
x1+x2 |
m |
y1+y2 |
m |
又x1+x2=
2k |
k2-1 |
5 |
2k2 |
k2-1 |
2 |
k2-1 |
∴点C(-
4
| ||
m |
8 |
m |
将点C的坐标代入曲线E的方程,得
80 |
m2 |
64 |
m2 |
但当m=-4时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,
∴m=4,C点的坐标为(-
5 |
所以C到AB的距离为
|
| ||||||
|
1 |
3 |
∴△ABC的面积S=
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
3 |
点评:本题主要考查双曲线标准方程,简单几何性质,直线与双曲线的位置关系,双曲线的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.

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