题目内容

选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.
(1)解不等式f(x)>3;
(2)若关于x的不等式f(x)≤|2a-1|的解集不是空集,试求a的取值范围.
分析:(1)对x的取值情况分类讨论,去掉绝对值符号,再解不等式f(x)>3即可;
(2)由(1)可求得f(x)min=
5
2
,解不等式
5
2
≤|2a-1|即可求得a的取值范围.
解答:解:(1)①当x≥
1
2
时,f(x)=2x-1+x+2=3x+1,
所以由f(x)>3得:x>
2
3
…(1分)
②当-2≤x<
1
2
时,f(x)=1-2x+x+2=3-x,
所以由f(x)>3得:x<0,
又-2≤x<
1
2
,所以-2≤x<0…(2分)
③当x<-2时,f(x)=1-2x-x-2=-3x-1,
所以由f(x)>3得:x<-
4
3

又x<-2,所以x<-2…(3分)
综上,不等式不等式f(x)>3的解集为{x|x>
2
3
或-2≤x<0或x<-2}={x|x<0或x>
2
3
}…(5分)
(2)f(x)≤|2a-1|的解集不是空集?f(x)min≤|2a-1|…(6分)
由(1)知:f(x)=
3x+1,x≥
1
2
-x+3,-2≤x<
1
2
-3x-1,x<-2

∵当x≥
1
2
时,f(x)≥
5
2
;当-2≤x<
1
2
时,
5
2
<f(x)≤5;当x<-2时,f(x)>5;
∴f(x)≥
5
2
,f(x)min=
5
2
…(8分)
5
2
≤|2a-1|,解得a≥
7
4
或a≤-
3
4

∴a的取值范围为(-∞,-
3
4
]∪[
7
4
,+∞)…(10分)
点评:本题考查绝对值不等式的解法,通过对x的取值情况分类讨论,去掉绝对值符号是关键,考查分类讨论思想与方程思想,考查运算能力,属于中档题.
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