Question

17．解关于x的不等式：$\frac{2{x}^{2}-（a+1）x+1}{x（x-1）}$＞1（a＞0）

Answer 1

分析 原不等式即 $\frac{{x}^{2}-ax+1}{x（x-1）}$＞0，分类讨论a的范围，利用二次函数的性质，求得它的解集．

解答 解：不等式：$\frac{2{x}^{2}-（a+1）x+1}{x（x-1）}$＞1（a＞0），即 $\frac{{x}^{2}-ax+1}{x（x-1）}$＞0．
①当0＜a＜2时，x²-ax+1＞0恒成立，原不等式等价于x（x-1）＞0，求得 x＜0 或x＞1．
②当a=2时，x²-ax+1=x²-2x+1=（x-1）²，原不等式等价于x（x-1）＞0，求得 x＜0 或x＞1．
③当a＞2时，方程x²-ax+1=0有两个实数根，它们分别为
x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$∈（0，1），x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＞1，
用穿根法求得原不等式 $\frac{{x}^{2}-ax+1}{x（x-1）}$＞0的解集为
（-∞，0）∪（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，1）∪（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．