题目内容
（2008•佛山一模）观察下列三角形数表
1-----------------------------第一行
2 2------------------------第二行
3 4 3-------------------第三行
4 7 7 4---------------第四行
5 11 14 11 5-----------第五行
…
假设第n行的第二个数为an（n≥2，n∈N*），
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式；
（Ⅲ）设anbn=1，求证：b2+b3+…+bn＜2．
1-----------------------------第一行
2 2------------------------第二行
3 4 3-------------------第三行
4 7 7 4---------------第四行
5 11 14 11 5-----------第五行
…
假设第n行的第二个数为an（n≥2，n∈N*），
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式；
（Ⅲ）设anbn=1，求证：b2+b3+…+bn＜2．
分析：（I）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（II）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由anbn=1，解得数列的通项，利用裂项法求和，即可证得结论．
（II）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由anbn=1，解得数列的通项，利用裂项法求和，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；--------------（2分）
（Ⅱ）解：依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2-------------------------------（5分）
an=a2+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）------------------------（7分）
=2+2+3+…+(n-1)=2+
，
所以an=
n2-
n+1 (n≥2)；-------------------------------------（9分）
（Ⅲ）证明：因为anbn=1，所以bn=
＜
=2(
-
)-------------（11分）
b2+b3+b4+…+bn＜2[(
-
)+(
-
)+…+(
-
)]=2(1-
)＜2---（14分）
（Ⅱ）解：依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2-------------------------------（5分）
an=a2+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）------------------------（7分）
=2+2+3+…+(n-1)=2+
| (n-2)(n+1) |
| 2 |
所以an=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）证明：因为anbn=1，所以bn=
| 2 |
| n2-n+2 |
| 2 |
| n2-n |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
b2+b3+b4+…+bn＜2[(
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
点评：本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，考查裂项法的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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