Question

（本题满分12分）

已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F₁(－c,0)，F₂(c,0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的范围．

 

Answer 1

【答案】

 

解：根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则＝无意义．

因为在△PF₁F₂中，由正弦定理得＝.

又由已知，得＝，    ………………3分

即|PF₁|＝|PF₂|，且点P在双曲线的右支上．

由双曲线的定义，知|PF₁|－|PF₂|＝2a，

则|PF₂|－|PF₂|＝2a，即|PF₂|＝.              …………6分

由双曲线的几何性质，知|PF₂|>c－a，则>c－a，

即c²－2ac－a²<0，  ………………9分

所以e²－2e－1<0，

解得－＋1<e<＋1.    …………11分

又e>1，故双曲线的离心率e∈(1，＋1)．    …………12分

 

【解析】略