Question

有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数、质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第n（n=1，2，3）关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n²时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．
（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；
（Ⅱ）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）由题意记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A，利用独立事件的概率公式即可；
（II）由于ξ表示成功闯过的关的次数，由题意则ξ的取值有0，1，2，3，并利用随机变量得到定义求出每一个值下对应的事件的概率，有分布列定义求出其分布列，并根据期望定义求出期望．

解答：解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A，
第1关过了的概率为

3

4

，而第2关没过的情况有如下三种：（1，1）、（1，2）、（2，1），（2，2）（3，1），（1，3），概率为

6

16

，
所以仅闯过第一关的概率为P（A）=

3

4

×

6

16

=

9

32

（Ⅱ）由题意得，ξ的取值有0，1，2，3，
∵p(ξ=0)=

1

4

，P（ξ=1）=

9

32

P（ξ=2）=

3

4

•

5

8

•

54

64

=

405

1024

P（ξ=3）=

3

4

•

5

8

•

5

32

=

75

1024

即随机变量ξ的概率分布列为：

ξ	0	1	2	3
p	1 4	9 32	405 1024	75 1024

所以 Eξ=0×

1

4

+1×

9

32

+2×

405

1024

+3×

75

1024

=

1323

1024

点评：此题重在准确理解题意，还考查了独立事件同时发生的概率公式，随机变量的定义及其分布列，并利用随机变量的分布列求其期望．