Question

已知曲线C₁：（θ为参数），曲线C₂：（t为参数），
（1）曲线C₁、C₂是否有公共点，为什么？
（2）若把上各点的横坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C₁′、C₂′，问C₁′与C₂′公共点的个数和C₁与C₂公共点的个数是否相同？说明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用公式sin²θ+cos²θ=1将参数θ消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数t得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的距离与半径进行比较，从而得到C₁与C₂公共点的个数；
（2）求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进行判定即可．
解答：解：（1）C₁的普通方程为x²+y²=1，圆心C₁（0，0），半径r=1．…（1分）C₂的普通方程为．…（2分）
因为圆心C₁到直线的距离为1，…（4分）
所以C₂与C₁只有一个公共点．…（5分）
（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）； ：…（6分）
化为普通方程为：：4x²+y²=1，：，…（8分）
联立消元得，其判别式，…（9分）
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C₁与C₂公共点个数相同．…（10分）
点评：本题主要考查了圆与直线的参数方程，以及直线圆的位置关系的判定，同时考查了利用判别式进行判定两曲线的公共点，转化与化归的思想方法，属于基础题．