题目内容

已知椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，它的一个顶点为A（0，2），离心率e=
6
3
．
（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y=kx-2（k∈R且k≠0），与椭圆相交于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点且有AP⊥MN，求实数k的值．
分析：（1）直接利用题中条件列出方程组
b=2
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
，解方程组即可求椭圆的方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立，可得关于点M、N坐标的等式，再利用中点坐标公式求出点P的坐标，代入由AP⊥MN得到的KAP=-
1
k
 即可 求实数k的值．
解答：解：（1）由它的一个顶点为A（0，2），离心率e=
6
3
．得
b=2
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
，
解得
a2=12
b2=4
c2=8
，
故椭圆的方程
x2
12
+
y2
4
=1．
（2）联立
x2
12
+
y2
4
=1
y=kx-2
?（1+3k2）x2-12kx=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y）
则x1+x2=
12k
1+3k2
，
所以y1+y2=k（x1+x2）-4=-
4
1+3k2
．
故x=
6k
1+3k2
，y=-
2
1+3k2
             
有AP⊥MN?KAP=-
1
k
?
-
2
1+3k2
-2
6k
1+3k2
=-
1
k
?
2+2(1+3k2)
6k
=
1
k
?k2=
1
3
?k=±
3
3
．
故实数k的值为 ±
3
3
．
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆标准方程的求法．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．
练习册系列答案
相关题目
已知离心率为
6
3
的椭圆C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(
3
，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点，若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
（O为坐标原点），求直线l的方程．
已知方向向量为
V
=(1，
3
)的直线l过椭圆C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点以及点（0，-2
3
），直线l与椭圆C交于A、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为4
6
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F1且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
≠0（O坐标原点），求直线m的方程．
已知椭圆
x2
a
+
y2
b
=1(a＞b＞0)过点(1，
3
2
)，且离心率为
1
2
，A、B是椭圆上纵坐标不为零的两点，若
AF
=λ
FB
(λ∈R)，且|
AF
|≠|
FB
|，其中F为椭圆的左焦点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求A、B两点的对称直线在y轴上的截距的取值范围．
已知椭圆
x2
a
+
y2
b
=1(a＞b＞0)过点(1，
3
2
)，且离心率为
1
2
，A、B是椭圆上纵坐标不为零的两点，若
AF
=λ
FB
(λ∈R)，且|
AF
|≠|
FB
|，其中F为椭圆的左焦点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求A、B两点的对称直线在y轴上的截距的取值范围．
已知离心率为
6
3
的椭圆C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(
3
，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点，若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
（O为坐标原点），求直线l的方程．

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