题目内容
已知方向向量为
=(1,
)的直线l过椭圆C:
+
=1(a>b>0)的焦点以及点(0,-2
),直线l与椭圆C交于A、B两点,且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为4
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点,
•
=
≠0(O坐标原点),求直线m的方程.
V |
3 |
x2 |
a 2 |
y2 |
b2 |
3 |
6 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点,
OM |
ON |
4
| ||
3tan∠MON |
分析:(1)l:y=
x-2
,直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F2(2,0),故c=2,由已知△F1AB周长为4
,知a=
,由此能求出椭圆方程.
(2)椭圆的左焦点为F1(-2,0),则直线m的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,得:(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
,x1•x2=
,由此能求出m的方程.
3 |
3 |
6 |
6 |
(2)椭圆的左焦点为F1(-2,0),则直线m的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,得:(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
12k2 |
3k2+1 |
12k2-6 |
3k2+1 |
解答:解:(1)l:y=
x-2
,
直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F2(2,0),
∴c=2,
由已知△F1AB周长为4
,
则4a=4
,即a=
,
∴b=
=
,
故椭圆方程为
+
=1.
(2)椭圆的左焦点为F1(-2,0),则直线m的方程为y=k(x+2),
代入椭圆方程,得:(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
,x1•x2=
,
∵
•
=
=
=|
|•|
|cos∠MON≠0,
∴|
|•|
|sib∠MON=
,即S△OMN=
,
∵|MN|=
•|x1-x2|=
,
原点O到m的距离d=
,
则S△OMN=
|MN|d=
•
=
,
解得k=±
,
∴m的方程为y=±
(x+2).
3 |
3 |
直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F2(2,0),
∴c=2,
由已知△F1AB周长为4
6 |
则4a=4
6 |
6 |
∴b=
6-4 |
2 |
故椭圆方程为
x2 |
6 |
y2 |
2 |
(2)椭圆的左焦点为F1(-2,0),则直线m的方程为y=k(x+2),
代入椭圆方程,得:(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
12k2 |
3k2+1 |
12k2-6 |
3k2+1 |
∵
OM |
ON |
4
| ||
3tan∠MON |
4
| ||
3sin∠MON |
OM |
ON |
∴|
OM |
ON |
4 |
3 |
6 |
2 |
3 |
6 |
∵|MN|=
1+k2 |
2
| ||
3k2+1 |
原点O到m的距离d=
|2k| | ||
|
则S△OMN=
1 |
2 |
2
| ||
3k2+1 |
|2k| | ||
|
2 |
3 |
6 |
解得k=±
| ||
3 |
∴m的方程为y=±
| ||
3 |
点评:本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.

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