题目内容
已知函数f(x)=(
-1)2+(
-1)2的定义域为［m,n］,且1≤m≤n≤2.(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：对任意的实数x1,x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2)|＜1恒成立.
解：(1)f(x)=()2+()2-2(
+
)+2=(
+
)-2(
+
)+2-
,
令t=
+
,t′=
-
=
,
当x∈［m,
］时，t′≤0,函数t=
+
在［m,
］上递减；
当∈［
,n］时，t′≥0,函数t=
+
在［
,n］上递增，
则t∈［2
,1+
］,
f(x)=t2-2t+2-
=(t-1)2+1-
.
∵1≤m＜n≤2,∴2
＞2,t＞2,
∴函数f(x)与函数t=
+
的单调区间相同，
∴f(x)在［m,
］上递减，在［
,n］上递增.
(2)当x=m或x=n时，f(x)有最大值f(x)max=(
-1)2,
当x=
时,f(x)有最小值f(x)min=2(
-1)2.
∵1≤m＜n≤2,∴1＜
≤2,∴f(x)max-f(x)min=(
-1)2-2(
-1)2=(
-1)2-(2·
-2)2
=(
-1+
·
-
)(
-1-
·
+
)
=(
+
·
-
-1)［(
-
)2+
-
］≤(2+2-
-1)(2-1-2+
)
=(3-
)(
-1)=4
-5＜1.
又∵f(x)max-f(x)min＞0,∴0＜f(x)max-f(x)min＜1,
∴|f(x1)-f(x2)|＜f(x)max-f(x)min＜1.
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已知函数f(x)=
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