Question

3．函数f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（cosx-sinx）•sin（$x+\frac{π}{4}$）-2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且对任意$x∈（0，\frac{π}{6}）$，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）若f（x）的最大值为1，最小值为-4，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）先化简函数式，将函数化为sinx的二次型函数，再用分离参数法和单调性求解；
（2）讨论二次函数在“动轴定区间”上的最值，再列方程求解．

解答 解：（1）当b=1时，函数式可化简如下：
f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）•（cosx+sinx）-2asinx+1
=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）-2asinx+1=-sin²x-2asinx+$\frac{3}{2}$，
令t=sinx（0＜t＜$\frac{1}{2}$），对任意x∈（0，$\frac{π}{6}$），恒有f（x）＞0，
即为-t²-2at+$\frac{3}{2}$＞0，分离参数得：-2a＞t-$\frac{3}{2t}$，
由t-$\frac{3}{2t}$在（0，$\frac{1}{2}$）递增，所以，t-$\frac{3}{2t}$＜$\frac{1}{2}$-3=-$\frac{5}{2}$，
因此，-2a＞-$\frac{5}{2}$，解得，0＜a＜$\frac{5}{4}$，
即实数a的取值范围为（0，$\frac{5}{4}$）；
（2）f（x）=-sin²x-2asinx+b+$\frac{1}{2}$，令t=sinx（-1≤t≤1），
记g（t）=-t²-2at+b+$\frac{1}{2}$，图象的对称轴t=-a＜0，且开口向下，
①当-a≤-1时，即a≥1，函数g（t）在[-1，1]上单调递减，则
g（t）_max=g（-1）=-1+2a+b+$\frac{1}{2}$=1，
g（t）_min=g（1）=-1-2a+b+$\frac{1}{2}$=-4，
解得a=$\frac{5}{4}$，b=-1；
②当-1＜-a＜1时，即0＜a＜1，函数g（t）在[-1，1]上先增后减，则
g（x）_max=g（-a）=$\frac{1}{2}$+b+a²=1，
g（x）_min=g（1）=-1-2a+b+$\frac{1}{2}$=-4，
解方程可得a=$\sqrt{5}$-1，b=2$\sqrt{5}$-$\frac{11}{2}$，由于a=$\sqrt{5}$-1＞1，不合题意，舍去．
综上可得a=$\frac{5}{4}$，b=-1．

点评 本题主要考查三角函数的化简和求值，以及不等式恒成立问题的解法，运用了参数分离和函数的单调性，属于中档题．