Question

    已知函数f(x)=x²－1(x≥1)的图象是C₁，函数y=g(x)的图象C₂与C₁关于直线y=x对称.

    (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；

    (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x₁，x₂都有|h(x₁)－h(x₂)|≤a|x₁－x₂|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数；

    (3)设A、B是曲线C₂上任意不同两点，证明：直线AB与直线y=x必相交.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且，     ∴，     即C2：，M={x|x≥0}.     (2)对任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0.     ∴     ∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中.     (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线C2上不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2.     由(2)知     ∴直线AB的斜率kAB≠1.     又∵直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交.