题目内容

已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若内恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)当时,单调递减,在上单调递增;
时,单调递减,在,上单调递增;
时,上单调递增;
时,单调递减, 在,上单调递增;
(Ⅱ)

试题分析:(Ⅰ)利用导数的符号确定函数的单调区间。函数含有参数,故需要分情况讨论
(Ⅱ)思路一、一般地若任意使得,则;若任意使得,则.由得:恒成立,所以小于等于的最小值.
思路二、除外,的一个极值点,故可首先考虑这个特殊值.由得: ,这样只需考虑内是否恒成立.这是本题的特点,需要仔细观察、分析.若发现其特点,则运算大大简化.所以这个题有较好的区分度.
试题解析:(Ⅰ)
时,单调递减,在上单调递增;
时,单调递减,在,上单调递增;
时,上单调递增;
时,单调递减, 在,上单调递增.
(Ⅱ)法一、由得:
,则
,则
所以由
所以内单调递减,在内单调递增.所以
从而
法二、由得:
时, 单调递减,在上单调递增
所以即:
所以若内恒成立,实数的取值范围为.
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