Question

15．已知角x∈[-π，0]，且sinx+cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（Ⅰ）求sin⁴x+cos⁴x的值；
（Ⅱ）求sinx-cosx的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平方的方法，先求出sin2x=-$\frac{1}{2}$，再求sin⁴x+cos⁴x的值；
（Ⅱ）确定sinx-cosx＜0，再求sinx-cosx的值．

解答 解：（Ⅰ）∵sinx+cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴1+2sinxcosx=$\frac{1}{2}$，
∴1+sin2x=$\frac{1}{2}$
∴sin2x=-$\frac{1}{2}$  …（2分）
sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-$\frac{1}{2}$sin²2x=$\frac{7}{8}$，…（5分）
（II）∵x∈[-π，0]，∴sinx＜0 
又∵sin2x=-$\frac{1}{2}$，∴cosx＞0
∴sinx-cosx＜0，…（7分）
∴sinx-cosx=-$\sqrt{1-sin2x}$=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查同角三角函数关系，考查学生的计算能力，属于中档题．