题目内容
如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=
CD=2,DE=3,M为CE的中点.
(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值.
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(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)取DE中点N,连接MN,AN,由三角形中位线定理,结合已知易得四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN,再由线面平面的判定定理,可得BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)取D为原点,DA、DC、DE所在直线分别为x,y,z轴,建立直角坐标系,求出平面BEC的一个法向量,设DB与平面BEC所成角为α,利用sinα=|cos<
,
>|,可求直线DB与平面BEC所成角的正弦值.
(Ⅱ)取D为原点,DA、DC、DE所在直线分别为x,y,z轴,建立直角坐标系,求出平面BEC的一个法向量,设DB与平面BEC所成角为α,利用sinα=|cos<
DB |
m |
解答:(Ⅰ)证明:取DE中点N,连结MN,AN
在△EDC中,M,N分别为ED,EC的中点,
所以MN∥CD,且MN=
CD
又已知AB∥CD,且AB=
CD,所以MN∥AB,且MN=ABk
所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN;
又因为AN?平面BEC,且BM?平面BEC
所以MM∥平面ADEF;…(6分)
(II)解:在矩形ADEF中,ED⊥AD,
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,又AD⊥CD,
所以,取D为原点,DA、DC、DE所在直线分别为x,y,z轴,建立直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,3)
设
=(x,y,z)为平面BEC的一个法向量.
因为
=(-2,2,0),
=(0,-4,3),
所以
,令x=1,得y=1,z=
,所以
=(1,1,
),
=(2,2,0)
设DB与平面BEC所成角为α,则sinα=|cos<
,
>|=
=
=
所以,DB与平面BEC所成角的正弦值为
.…(13分)
在△EDC中,M,N分别为ED,EC的中点,
所以MN∥CD,且MN=
1 |
2 |
又已知AB∥CD,且AB=
1 |
2 |
所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN;
又因为AN?平面BEC,且BM?平面BEC
所以MM∥平面ADEF;…(6分)
(II)解:在矩形ADEF中,ED⊥AD,
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,又AD⊥CD,
所以,取D为原点,DA、DC、DE所在直线分别为x,y,z轴,建立直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,3)
设
m |
因为
BC |
CE |
所以
|
4 |
3 |
m |
4 |
3 |
DB |
设DB与平面BEC所成角为α,则sinα=|cos<
DB |
m |
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4 | ||||||
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3
| ||
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所以,DB与平面BEC所成角的正弦值为
3
| ||
17 |
点评:本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,确定平面的法向量是关键.
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