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精英家教网如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=
12
CD=2
,DE=3,M为CE的中点.
(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)取DE中点N,连接MN,AN,由三角形中位线定理,结合已知易得四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN,再由线面平面的判定定理,可得BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)取D为原点,DA、DC、DE所在直线分别为x,y,z轴,建立直角坐标系,求出平面BEC的一个法向量,设DB与平面BEC所成角为α,利用sinα=|cos
DB
m
|,可求直线DB与平面BEC所成角的正弦值.
解答:精英家教网(Ⅰ)证明:取DE中点N,连结MN,AN
在△EDC中,M,N分别为ED,EC的中点,
所以MN∥CD,且MN=
1
2
CD
又已知AB∥CD,且AB=
1
2
CD,所以MN∥AB,且MN=ABk
所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN;
又因为AN?平面BEC,且BM?平面BEC
所以MM∥平面ADEF;…(6分)
(II)解:在矩形ADEF中,ED⊥AD,
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,又AD⊥CD,
所以,取D为原点,DA、DC、DE所在直线分别为x,y,z轴,建立直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,3)
m
=(x,y,z)为平面BEC的一个法向量.
因为
BC
=(-2,2,0),
CE
=(0,-4,3),
所以
-2x+2y=0
-4y+3z=0
,令x=1,得y=1,z=
4
3
,所以
m
=(1,1,
4
3
)
DB
=(2,2,0)

设DB与平面BEC所成角为α,则sinα=|cos
DB
m
|=
|
DB
m
|
|
DB
||
m
|
=
4
4+4
1+1+
16
9
=
3
17
17

所以,DB与平面BEC所成角的正弦值为
3
17
17
.…(13分)
点评:本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,确定平面的法向量是关键.
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