题目内容

(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面BDE.
分析:(Ⅰ)取DE中点N,连结MN,AN,证明四边形ABMN为平行四边形,从而可证BM∥平面ADEF;
(II)先证明ED⊥平面ABCD,可得ED⊥BC,再利用勾股定理,证明BC⊥BD,利用线面垂直的判定定理,证明BC⊥平面BDE.
(II)先证明ED⊥平面ABCD,可得ED⊥BC,再利用勾股定理,证明BC⊥BD,利用线面垂直的判定定理,证明BC⊥平面BDE.
解答:
证明:(Ⅰ)取DE中点N,连结MN,AN.
在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,…(2分)
所以MN∥CD,且MN=
CD.
由已知AB∥CD,AB=
CD,
所以MN∥AB,且MN=AB.
所以四边形ABMN为平行四边形. …(4分)
所以BM∥AN.
又因为AN?平面ADEF,且BM?平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF. …(6分)
(Ⅱ)在矩形ADEF中,ED⊥AD.
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,
且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD.
所以ED⊥BC. …(9分)
在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可得BC=2
.
在△BCD中,BD=BC=2
,CD=4,
因为BD2+BC2=CD2,所以BC⊥BD.
因为BD∩DE=D,所以BC⊥平面BDE.…(13分)

在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,…(2分)
所以MN∥CD,且MN=
1 |
2 |
由已知AB∥CD,AB=
1 |
2 |
所以MN∥AB,且MN=AB.
所以四边形ABMN为平行四边形. …(4分)
所以BM∥AN.
又因为AN?平面ADEF,且BM?平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF. …(6分)
(Ⅱ)在矩形ADEF中,ED⊥AD.
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,
且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD.
所以ED⊥BC. …(9分)
在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可得BC=2
2 |
在△BCD中,BD=BC=2
2 |
因为BD2+BC2=CD2,所以BC⊥BD.
因为BD∩DE=D,所以BC⊥平面BDE.…(13分)
点评:本题考查线面平行,考查线面垂直,考查学生分析解决问题的能力,正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键.

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