题目内容
探究函数
,x∈(0,+∞)的最小值,并确定相应的x的值,列表如下:
x | … |  |  | 1 |  | 2 |  | 4 | 8 | 16 | … |
y | … | 16.25 | 8.5 | 5 |  | 4 |  | 5 | 8.5 | 16.25 | … |
请观察表中y值随x值变化的特点,完成下列问题:
(1)若x1x2=4,则f(x1)______f(x2)(请填写“>,=,<”号);若函数
,(x>0)在区间(0,2)上递减,则在区间______上递增;
(2)当x=______时,
,(x>0)的最小值为______;
(3)试用定义证明
,在区间(0,2)上单调递减.
解:(1)∵x
1x
2=4,f(x
1)=f(

)=x
2+

=f(x
2)
故答案为:=,(2,+∞) (左端点可以闭)
(2)根据(1)可知x=2时,y
min=4
(3)设0<x
1<x
2<2,则f(x
1)-f(x
2)=

=

∵0<x
1<x
2<2∴x
1-x
2<0,0<x
1x
2<4∴x
1x
2-4<0
∴f(x
1)-f(x
2)>0∴f(x
1)>f(x
2)
∴f(x)在区间(0,2)上递减
分析:(1)根据x
1x
2=4,将x
1=

代入函数解析式,可得结论,根据表中y值随x值变化的特点可得函数的增区间;
(2)根据表中y值随x值变化的特点可得函数的最值;
(3)证明单调性的步骤:取值、作差、变形、定号、下结论,设0<x
1<x
2<2,然后判定f(x
1)与f(x
2)的大小,属于中档题.
点评:本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及函数单调性的判断与证明,同时考查了计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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(1)若x
1x
2=4,则f(x
1)______f(x
2)(请填写“>,=,<”号);若函数

,(x>0)在区间(0,2)上递减,则在区间______上递增;
(2)当x=______时,

,(x>0)的最小值为______;
(3)试用定义证明

,在区间(0,2)上单调递减.
探究函数
,x∈(0,+∞)的最小值,并确定相应的x的值,列表如下:
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.102 | 4.24 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
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(1)若函数

,(x>0)在区间(0,2)上递减,则在________上递增;
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,(x>0)的最小值为________;
(3)试用定义证明

,(x>0)在区间(0,2)上递减;
(4)函数

,(x<0)有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?
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y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.102 | 4.24 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
请观察表中y值随x值变化的特点,完成下列问题:
(1)若函数

,(x>0)在区间(0,2)上递减,则在______上递增;
(2)当x=______时,

,(x>0)的最小值为______;
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,(x>0)在区间(0,2)上递减;
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,(x>0)在区间(0,2)上递减,则在______上递增;
(2)当x=______时,

,(x>0)的最小值为______;
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,(x>0)在区间(0,2)上递减;
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