题目内容

探究函数数学公式,x∈(0,+∞)的最小值,并确定相应的x的值,列表如下:

x数学公式数学公式1数学公式2数学公式4816
 y16.258.55数学公式4数学公式58.516.25

请观察表中y值随x值变化的特点,完成下列问题:
(1)若x1x2=4,则f(x1)______f(x2)(请填写“>,=,<”号);若函数数学公式,(x>0)在区间(0,2)上递减,则在区间______上递增;
(2)当x=______时,数学公式,(x>0)的最小值为______;
(3)试用定义证明数学公式,在区间(0,2)上单调递减.

解:(1)∵x1x2=4,f(x1)=f()=x2+=f(x2
故答案为:=,(2,+∞) (左端点可以闭)
(2)根据(1)可知x=2时,ymin=4 
(3)设0<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)=
=
∵0<x1<x2<2∴x1-x2<0,0<x1x2<4∴x1x2-4<0
∴f(x1)-f(x2)>0∴f(x1)>f(x2
∴f(x)在区间(0,2)上递减
分析:(1)根据x1x2=4,将x1=代入函数解析式,可得结论,根据表中y值随x值变化的特点可得函数的增区间;
(2)根据表中y值随x值变化的特点可得函数的最值;
(3)证明单调性的步骤:取值、作差、变形、定号、下结论,设0<x1<x2<2,然后判定f(x1)与f(x2)的大小,属于中档题.
点评:本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及函数单调性的判断与证明,同时考查了计算能力,属于中档题.
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