Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；
（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补．

解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC
又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB
连BD交AC于点O，连EO，
则EO是△PDB的中位线，
∴EO∥PB
∴PB∥平面AEC
（2）取AD的中点F，连EF，FO，
则EF是△PAD的中位线，
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位线，
∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．
又FO=

1

2

AB=

1

2

PA=EF
∴∠EOF=45°而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补，
故所求二面角E-AC-B的大小为135°．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．