题目内容

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC面积为 $数学公式$ ，3ac=25-b²，求a，c的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（2分）
∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0…（3分）
∴ $\text{[math]}$ ，…（4分）
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．…（5分）
（2）由b²=a²+c²-2accosB，得b²=a²+c²-ac，…（6分）
代入3ac=25-b²得3ac=25-a²-c²+ac，得a+c=5．…（7分）
∵ $\text{[math]}$ …（9分）
由题设 $\text{[math]}$ ，得ac=6…（10分）
联立 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）利用向量的数量积运算，根据向量垂直建立方程，即可求得角B的大小；
（2）利用余弦定理，三角形的面积公式，可得a，c的关系，解方程组，即可求得结论．
点评：本小题主要考查向量数量积、三角特殊值的运算，三角函数的基本关系，解三角形1等知识，考查化归与转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力．

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