Question

15．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}，x≠1}\\{2，x=1}\end{array}\right.$，则在点x=1处，函数f（x）（　　）

• A． 不连续
• B． 连续不可导
• C． 可导且导数不连续
• D． 可导且导数连续

Answer 1

分析 可将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1}\\{2，x=1}\\{-x-1，-1≤x＜1}\\{x+1，x＜-1}\end{array}\right.$，再画出函数图象，得到结果．

解答 解：因为设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}，x≠1}\\{2，x=1}\end{array}\right.$，
可将绝对值去掉，得到分段函数：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1}\\{2，x=1}\\{-x-1，-1≤x＜1}\\{x+1，x＜-1}\end{array}\right.$，函数图象如右图，
由图可知，该函数在1处的右极限时2，左极限为-2，即
$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$f（x）=2，$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$f（x）=-2，
所以，f（x）在x=1处极限不存在，
因为极限不存在，所以不连续，因而不可导，
故选A．

点评 本题主要考查了分段函数的连续性，涉及函数的单侧极限和可导性的判断，体现了数形结合与分类讨论的解题思想，属于中档题．