题目内容

某建筑的金属支架如图所示,根据要求AB至少长2.8m,C为AB的中点,B到D的距离比CD的长小0.5m,∠BCD=60°,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎样设计AB,CD的长,可使建造这个支架的成本最低?
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分析:通过三角形中的余弦定理得到a,b的等量关系;通过换元转化成积是定值;求和的最小值问题;再利用基本不等式解.
解答:解:设BC=am(a≥1,4),CD=bm.连接BD.则BD=b-
1
2

则在△CDB中,(b-
1
2
)
2
=b2+a2-2abcos60°

b=
a2-
1
4
a-1

b+2a=
a2-
1
4
a-1
+2a

t=a-1,t≥
2.8
2
-1=0.4

b+2a=
(t+1)2-
1
4
t
+2(t+1)=3t+
3
4t
+4≥7

等号成立时t=0.5>0.4,a=1.5,b=4.
答:当AB=3m,CD=4m时,建造这个支架的成本最低.
点评:本题考查解三角形;数学上的换元思想;用基本不等式求函数最值.
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