Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数x＞0，y＞0，z＞0，求证：
（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；
（Ⅱ）x³+y³+z³≥x²•+y²•+z²•．

Answer 1

证明：（Ⅰ）x³+y³-x²y-xy²=（x-y）（x²-y²）=（x-y）²（x+y）…（2分）
∵x＞0，y＞0，（x-y）²≥0，…（4分）
∴x³+y³≥x²y+xy²；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；同理z³+y³≥z²y+zy²；x³+z³≥x²z+xz²，…（6分）
∴2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（z+x）+z²（x+y）≥2（x²•+y²•+z²•）．
∴x³+y³+z³≥x²•+y²•+z²•． …（10分）
分析：（Ⅰ）作差，因式分解，即可证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；同理z³+y³≥z²y+zy²；x³+z³≥x²z+xz²，三式相加，利用基本不等式，即可得解．
点评：本题考查不等式的证明，考查作差比较法，考查基本不等式的运用，选择正确的方法是关键．