Question

已知函数，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=-f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，问：是否存在常数k，使得对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．若存在，求出常数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数y=，得，根据题意和反函数定义可得：a_n²-a_n-1²=4，a₁=1，由此能够求出，n∈N^*．
（2）由，知==，b₁+b₂+…+b_n=．对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立，所以对任意的正整数n都有≤k•n成立．整理，得：对任意的正整数n都有16nk²+8k-4≥0成立，由此能求出k的取值范围．
解答：解：（1）∵函数y=，
∴y²=x²-4，y＞0，
，x，y互换，得，
根据题意和反函数定义可得：a_n²-a_n-1²=4，a₁=1，
∴a_n²=1+4（n-1）=4n-3，n∈N^*，
∴，n∈N^*．
（2）∵，n∈N^*，
∴==，
∴b₁+b₂+…+b_n=）]
=．
∵对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立，
∴对任意的正整数n都有≤k•n成立．
整理，得：对任意的正整数n都有16nk²+8k-4≥0成立，
∵对任意的正整数n都有16nk²≥0，
∴8k-4≥0，k时，对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．
故存在常数k，k的取值范围[+∞）．
点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．