Question

已知|a|=1，|b|=4，且向量a与b不共线．
（1）若a与b的夹角为60°，求（2a-b）•（a+b）；
（2）若向量ka+b与ka-b互相垂直，求k的值．

Answer 1

分析：（1）本题要求两个向量的数量积，而这两个向量是用一组基底来表示的，组成基底的向量的模长和两个向量的夹角是已知的，所以根据数量积的定义展开运算，得到结果．
（2）本题是以两个向量垂直为条件，根据向量垂直写出它的充要条件，得到关于要求的k的一元二次方程，解方程得到变量k的值．

解答：解：（1）∵|

a

|=1，|

b

|=4，

a

与

b

的夹角为60°
∴(2

a

-

b

)•(

a

+

b

)
=2

a

•

a

+

a

•

b

-

b

•

b

=2

|a|

2+

|a|

•

|b|

cosθ-

|b|

2
=2×1+1×4×cos60°-4²
=-12．
（2）由题意可得：(k

a

+

b

)•(k

a

-

b

)=0，
即k2

a

2-

b

2=0，
∵|

a

|=1，|

b

|=4，

a

与

b

的夹角为60°
∴k²-16=0，
∴k=±4．

点评：本题是对向量平行和垂直的考查，还有对数量积的应用考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，求解题目中所出现的变量的取值，是一个基础题．