Question

已知直线l过点P（1，1），并与直线l₁：x-y+3=0和l₂：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．
求：
（1）直线l的方程；
（2）以O为圆心且被l截得的弦长为

8

5

5

的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），分别代入直线l₁ 和l₂的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．
（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由R2=d2+(

4 5

5

)2，求得R的值，即可求出圆的方程．

解答：解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），则

m-n+3=0 2(2-m)+(2-n)-6=0

，即

m-n=-3 2m+n=0

，解得m=-1，n=2．
即A（-1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为

y-1

2-1

=

x-1

-1-1

，即：x+2y-3=0．
（2）圆心（0，0）到直线l的距离d=

|0+0-3|

1+4

=

3

5

，设圆的半径为R，则由 R2=d2+(

4 5

5

)2，
求得R²=5，故所求圆的方程为x²+y²=5．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．