题目内容

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆方程;
(2)求经过点O、F且与右准线l相切的圆的方程.
分析:(1)可得OF=c,OB2=b,B2F=a,可得离心率和准线方程,解方程组可得ab的值,可得方程;
(2)可得右准线方程为x=4,由题意可设圆心D(
, m),半径为
,可得圆的方程,代入点O(0,0)可的m的方程,解之可得答案.
(2)可得右准线方程为x=4,由题意可设圆心D(
3 |
2 |
5 |
2 |
解答:
解:(1)因为△B1B2F为正三角形,OF=c,OB2=b,B2F=a,
所以e=
=
=cos30°=
.…(3分)
准线l的方程:x=
,
所以
解之得
…(6分)
于是b=
.
故椭圆方程为
+
=1.…(7分)
(2)设所求圆的圆心为D,由(1)知椭圆的右准线方程为x=4,…(8分)
因为圆D过点O,F,且与直线x=4相切,
所以可设圆心D(
, m),半径为
,
于是圆D的方程为(x-
)2+(y-m)2=
,…(11分)
因为点O(0,0)在圆D上,
所以
+m2=
,解得m=2或m=-2,
所求圆的方程为(x-
)2+(y-2)2=
或(x-
)2+(y+2)2=
.…(14分)

所以e=
c |
a |
OF |
FB2 |
| ||
2 |
准线l的方程:x=
a2 |
c |
所以
|
|
于是b=
3 |
故椭圆方程为
x2 |
12 |
y2 |
3 |
(2)设所求圆的圆心为D,由(1)知椭圆的右准线方程为x=4,…(8分)
因为圆D过点O,F,且与直线x=4相切,
所以可设圆心D(
3 |
2 |
5 |
2 |
于是圆D的方程为(x-
3 |
2 |
25 |
4 |
因为点O(0,0)在圆D上,
所以
9 |
4 |
25 |
4 |
所求圆的方程为(x-
3 |
2 |
25 |
4 |
3 |
2 |
25 |
4 |
点评:本题考查椭圆的标准方程,涉及椭圆离心率的求解及直线与圆的位置关系,属中档题.

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