Question

（2012•月湖区模拟）①（极坐标与参数方程选讲选做题）已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=

9

2 sin(θ+ π 4 )

上，则点P与点Q之间距离的最小值为

4

2

-1

．
②（不等式选讲选做题）若存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，则实数m的取值范围是

（-2，8）

．

Answer 1

分析：①把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，它表示一条直线，本题即求点P（1+cosα，sinα）到直线 x+y=9的距离

8- 2 sin(α+ π 4 )

2

，再由

8- 2 sin(α+ π 4 )

2

≥

8- 2

2

，求出它的最小值．
②由于|x-3|+|x-m|的最小值为|m-3|，由题意可得|m-3|＜5，由此 解得实数m的取值范围．

解答：解：①曲线C：ρ=

9

2 sin(θ+ π 4 )

即 ρcosθ+ρsinθ=9，化为直角坐标方程为 x+y=9，表示一条直线．
点P与点Q之间距离的最小值为点P（1+cosα，sinα）到直线 x+y=9的距离，即

|1+cosα+sinα-9|

2

=

8- 2 sin(α+ π 4 )

2

≥

8- 2

2

=4

2

-1，
故答案为 4

2

-1．
②由于|x-3|+|x-m|的最小值为|m-3|，若存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，则有|m-3|＜5，解得-2＜m＜8，
故答案为 （-2，8）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．