(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a,b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求a的值;(2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

(1)已知两个等比数列{a_n},{b_n},满足a₁=a(a>0),b₁-a₁=1,b₂-a₂=2,b₃-a₃=3,若数列{a_n}唯一,求a的值;
(2)是否存在两个等比数列{a_n},{b_n},使得b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃,b₄-a₄成公差不为0的等差数列?若存在,求{a_n},{b_n}的通项公式;若不存在,说明理由.

(1) a= (2) 不存在，理由见解析

解析解:(1)设等比数列{a_n}的公比为q,
则b₁=1+a,b₂=2+aq,b₃=3+aq²,
由b₁,b₂,b₃成等比数列,得(2+aq)²=(1+a)(3+aq²),
即aq²-4aq+3a-1=0,(*)
由a>0得Δ=4a²+4a>0,故方程(*)有两个不同的实数根,
再由{a_n}唯一,知方程(*)必有一根为0,将q=0代入方程(*)得a=.
(2)假设存在两个等比数列{a_n},{b_n}使b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃,b₄-a₄成公差不为0的等差数列,设等比数列{a_n}的公比为q₁,等比数列{b_n}的公比为q₂,
则b₂-a₂=b₁q₂-a₁q₁,
b₃-a₃=b₁-a₁,
b₄-a₄=b₁-a₁,
∵b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃,b₄-a₄成等差数列,得

即
即
①×q₂-②得a₁(q₁-q₂)(q₁-1)²=0,
由a₁≠0得q₁=q₂或q₁=1.
(ⅰ)当q₁=q₂时由①②得b₁=a₁或q₁=q₂=1,
这时(b₂-a₂)-(b₁-a₁)=0与公差不为0矛盾.
(ⅱ)当q₁=1时,由①②得b₁=0或q₂=1,
这时(b₂-a₂)-(b₁-a₁)=0与公差不为0矛盾.
综上所述,不存在两个等比数列{a_n}{b_n}使b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃,b₄-a₄成公差不为0的等差数列.

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已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
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我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度．公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…，a_n是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁(1＋r)ⁿ^－1，第二年所交纳的储备金就变为a₂(1＋r)ⁿ^－2，…，以T_n表示到第n年所累计的储备金总额．
(1)写出T_n与T_n_－1(n≥2)的递推关系式；
(2)求证：T_n＝A_n＋B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．